16. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN=12, CM=27. Найдите ON.

Задание 16. Медианы треугольника

Дано:

• \( M \) — середина \( AB \)
• \( N \) — середина \( BC \)
• \( AN \) и \( CM \) — медианы \( \triangle ABC \)
• \( AN = 12 \)
• \( CM = 27 \)
• \( AN \) и \( CM \) пересекаются в точке \( O \)

Найти: \( ON \).

Решение:

Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

1. Медиана \( AN \) делится точкой \( O \) в отношении \( AO:ON = 2:1 \).
2. Общая длина медианы \( AN = AO + ON \).
3. Из соотношения \( AO:ON = 2:1 \) следует, что \( AO = 2 ON \).
4. Подставим это в равенство: \( AN = 2 ON + ON = 3 ON \).
5. Теперь выразим \( ON \): \[ ON = \frac{AN}{3} \].
6. Подставим значение \( AN = 12 \): \[ ON = \frac{12}{3} = 4 \].

Ответ: 4