177 В лотерее разыгрывается несколько выигрышных номеров из общего количества номеров. Сколько всего существует комбинаций выигрышных номеров, если: а) разыгрываются 5 номеров из 36; б) разыгрываются 6 номеров из 49?

Задание 177

Эта задача решается с помощью формулы сочетаний, так как порядок номеров не имеет значения. Формула сочетаний: $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

где n — общее количество элементов, а k — количество выбираемых элементов.

а) Разыгрываются 5 номеров из 36:

Здесь $$n = 36$$, $$k = 5$$.

$$ C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5!31!} = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} $$

Упрощаем:

$$ \frac{36}{4 \times 3} = 3 $$

$$ \frac{35}{5} = 7 $$

$$ \frac{32}{2} = 16 $$

$$ C_{36}^5 = 3 \times 7 \times 34 \times 33 \times 16 = 376992 $$

б) Разыгрываются 6 номеров из 49:

Здесь $$n = 49$$, $$k = 6$$.

$$ C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \times 48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} $$

Упрощаем:

$$ \frac{48}{6 \times 4 \times 2} = 1 $$

$$ \frac{45}{5 \times 3} = 3 $$

$$ C_{49}^6 = 49 \times 1 \times 47 \times 46 \times 3 \times 44 = 13983816 $$

Ответ: а) 376992, б) 13983816.