176 Сколько существует последовательностей, в которых 4 буквы У, а остальные буквы Н, если всего в последовательностях: а) 11 букв; б) 12 букв; в) 15 букв; г) 20 букв?

Задание 176

Это задача на комбинаторику, а именно на число размещений с повторениями. Нам нужно найти количество способов расположить 4 буквы "У" и оставшиеся буквы "Н" в последовательности определенной длины.

Общая длина последовательности - это сумма количества букв "У" и "Н".

а) 11 букв:

Если всего 11 букв и 4 из них "У", то букв "Н" будет: $$11 - 4 = 7$$.

Нам нужно выбрать 4 позиции для буквы "У" из 11 доступных. Это можно сделать способами, которые рассчитываются по формуле сочетаний: $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

В данном случае: $$ C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 10 \times 3 = 330 $$

б) 12 букв:

Если всего 12 букв и 4 из них "У", то букв "Н" будет: $$12 - 4 = 8$$.

Нужно выбрать 4 позиции для буквы "У" из 12.

$$ C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 9 = 495 $$

в) 15 букв:

Если всего 15 букв и 4 из них "У", то букв "Н" будет: $$15 - 4 = 11$$.

Нужно выбрать 4 позиции для буквы "У" из 15.

$$ C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15 \times 7 \times 13 = 1365 $$

г) 20 букв:

Если всего 20 букв и 4 из них "У", то букв "Н" будет: $$20 - 4 = 16$$.

Нужно выбрать 4 позиции для буквы "У" из 20.

$$ C_{20}^4 = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5 \times 19 \times 3 \times 17 = 4845 $$

Ответ: а) 330, б) 495, в) 1365, г) 4845.