17. В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 58°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.

Задание 17

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD.
• \( ∠ D = 58^\circ \).
• AC — биссектриса \( ∠ BAD \).

Найти: \( ∠ ACD \).

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.
2. \( ∠ D = ∠ C = 58^\circ \). (Это неверно, углы при основании равны, \( ∠ D = ∠ A \) и \( ∠ B = ∠ C \), либо \( ∠ D = ∠ C \) и \( ∠ A = ∠ B \) если \( AD \parallel BC \)).
3. В равнобедренной трапеции углы при основании AD равны: \( ∠ D = ∠ A = 58^\circ \).
4. Так как AC — биссектриса \( ∠ BAD \), то \( ∠ BAC = ∠ CAD = \frac{∠ BAD}{2} = \frac{58^\circ}{2} = 29^\circ \).
5. BC || AD (свойства трапеции).
6. \( ∠ BCA = ∠ CAD \) как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.
7. \( ∠ BCA = 29^\circ \).
8. Рассмотрим треугольник \( ACD \). Углы \( ∠ D = 58^\circ \), \( ∠ CAD = 29^\circ \).
9. \( ∠ ACD = 180^\circ - (∠ D + ∠ CAD) = 180^\circ - (58^\circ + 29^\circ) = 180^\circ - 87^\circ = 93^\circ \).
10. Важно: в условии сказано «равнобедренная трапеция ABCD». Обычно это означает, что \( AB=CD \) и \( AD ∥ BC \).
11. Тогда углы при основании \( AD \) равны, т.е. \( ∠ D = ∠ A = 58^\circ \).
12. Углы при основании \( BC \) тоже равны \( ∠ B = ∠ C \).
13. Сумма углов трапеции \( 360^\circ \). \( ∠ B + ∠ C = 360^\circ - (58^\circ + 58^\circ) = 360^\circ - 116^\circ = 244^\circ \).
14. \( ∠ B = ∠ C = 244^\circ / 2 = 122^\circ \).
15. AC — биссектриса \( ∠ BAD \), значит \( ∠ BAC = ∠ CAD = 58^\circ / 2 = 29^\circ \).
16. \( ∠ ACB = ∠ CAD = 29^\circ \) (накрест лежащие).
17. \( ∠ ACD = ∠ C - ∠ ACB = 122^\circ - 29^\circ = 93^\circ \).

Ответ: 93