Задание 15

Дано:

Треугольник АВС.
ВМ — медиана.
ВН — высота.
\( AC = 79 \).
\( BC = BM \).

Найти: \( AH \).

Решение:

Так как \( BC = BM \), то треугольник \( BCM \) — равнобедренный.
Медиана \( BM \) в равнобедренном треугольнике \( BCM \) является также высотой и биссектрисой.
Значит, \( ∠ BMC = 90^\circ \).
В треугольнике \( BNC \) (где \( N \) — точка на \( AC \)) \( ∠ BNC = 90^\circ \) (так как \( BH \) — высота), \( ∠ C = ∠ C \).
В треугольнике \( ABC \), \( ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ BCA = 180^\circ \).
В треугольнике \( BHC \), \( ∠ HBC + ∠ C = 90^\circ \).
Рассмотрим треугольник \( ABM \). \( BM \) — медиана, значит \( AM = MC \).
По условию \( BC = BM \).
В равнобедренном треугольнике \( BCM \) медиана \( BM \) к основанию \( BC \) не перпендикулярна \( BC \), если \( ∠ BMC = 90^\circ \), то \( BC \) — гипотенуза, что противоречит условию, что \( BM \) — медиана.
Следовательно, \( ∠ BMC \) не равно \( 90^\circ \).
Если \( BC = BM \), то треугольник \( BCM \) равнобедренный. Угол \( BCM = ∠ BМC \).
В треугольнике \( ABM \) по теореме косинусов: \( AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 AB · BM · · · · · · C ∠ ABM \).
В треугольнике \( ABC \) по теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
Также \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \) и \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).
По условию \( BC = BM \).
Рассмотрим случай, когда \( ∠ C = 30^\circ \). Тогда \( AB = \frac{1}{2} AC = \frac{79}{2} \). \( BC = \frac{√{3}}{2} AC = \frac{79√{3}}{2} \). \( BM = BC = \frac{79√{3}}{2} \).
В треугольнике \( ABM \), \( AM = \frac{AC}{2} = \frac{79}{2} \).
\( BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 AB · AM · · · · · · C ∠ BAC \).
\( (\frac{79√{3}}{2})^2 = (\frac{79}{2})^2 + (\frac{79}{2})^2 - 2 \frac{79}{2} \frac{79}{2} · · · C ∠ BAC \).
\( \frac{79^2 · 3}{4} = \frac{79^2}{4} + \frac{79^2}{4} - 2 \frac{79^2}{4} · · · C ∠ BAC \).
\( 3 = 1 + 1 - 2 · · · C ∠ BAC \). \( 3 = 2 - 2 · · · C ∠ BAC \). \( 1 = -2 · · · C ∠ BAC \). \( · · · C ∠ BAC = -\frac{1}{2} \).
Такого угла не существует.
Вернемся к \( BC = BM \). Треугольник \( BCM \) равнобедренный.
Медиана \( BM \) в \( △ BCM \) не является высотой.
Рассмотрим \( △ ABC \). \( BH \) — высота, \( BM \) — медиана.
\( HC = MC - HM \) или \( HC = MC + HM \).
\( MC = \frac{AC}{2} = \frac{79}{2} \).
В \( △ BHC \): \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).
В \( △ ABM \): \( AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 AM · BM · · · · · C ∠ AMB \).
\( AB^2 = (\frac{79}{2})^2 + BC^2 - 2 \frac{79}{2} BC · · · C ∠ AMB \).
\( AB^2 = BH^2 + AH^2 \).
\( AC = AH + HC = 79 \). \( HC = 79 - AH \).
\( BC^2 = BH^2 + (79 - AH)^2 \).
\( BM^2 = (\frac{79}{2})^2 + BH^2 + AH^2 - 2 \frac{79}{2} · BH · · · C ∠ BAH \).
\( BC^2 = BH^2 + (79 - AH)^2 \). \( BM = BC \). \( BM^2 = BC^2 \).
\( (\frac{79}{2})^2 + BH^2 + AH^2 - 79 · BH · · · C ∠ BAH = BH^2 + (79 - AH)^2 \).
\( \frac{79^2}{4} + AH^2 - 79 · BH · · · C ∠ BAH = 79^2 - 158 AH + AH^2 \).
\( \frac{79^2}{4} - 79^2 = 79 · BH · · · C ∠ BAH - 158 AH \).
\( -\frac{3 · 79^2}{4} = 79 · BH · · · C ∠ BAH - 158 AH \).
В \( △ ABH \): \( AB = BH / · · · C ∠ BAH \). \( BH = AB · · · C ∠ BAH \).
\( -\frac{3 · 79^2}{4} = 79 · AB · (· · · C ∠ BAH)^2 - 158 AH \).
Условие \( BC = BM \) означает, что точка \( M \) лежит на окружности с центром \( B \) и радиусом \( BC \).
Также \( M \) — середина \( AC \).
Пусть \( C = (0, 0) \), \( A = (79, 0) \).
\( B = (x, y) \). \( M = (79/2, 0) \).
\( BC^2 = x^2 + y^2 \).
\( BM^2 = (x - 79/2)^2 + y^2 \).
\( x^2 + y^2 = (x - 79/2)^2 + y^2 \).
\( x^2 = x^2 - 79x + (79/2)^2 \).
\( 79x = (79/2)^2 \). \( x = 79/4 \).
\( B = (79/4, y) \).
\( H \) — проекция \( B \) на \( AC \), значит \( H = (79/4, 0) \).
\( AH = |79 - 79/4| = |(316 - 79)/4| = 237/4 = 59.25 \).
Проверка: \( BC^2 = (79/4)^2 + y^2 \). \( BM^2 = (79/4 - 79/2)^2 + y^2 = (-79/4)^2 + y^2 = (79/4)^2 + y^2 \). Условие \( BC = BM \) выполнено.
\( AH = 79 - x = 79 - 79/4 = 237/4 = 59.25 \).

Ответ: 59.25

Поделись с друзьями