Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 15. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 79 и ВС = ВМ. Найдите АН.Фото задания

Ответ:

Задание 15

Дано:

  • Треугольник АВС.
  • ВМ — медиана.
  • ВН — высота.
  • \( AC = 79 \).
  • \( BC = BM \).

Найти: \( AH \).

Решение:

  1. Так как \( BC = BM \), то треугольник \( BCM \) — равнобедренный.
  2. Медиана \( BM \) в равнобедренном треугольнике \( BCM \) является также высотой и биссектрисой.
  3. Значит, \( ∠ BMC = 90^\circ \).
  4. В треугольнике \( BNC \) (где \( N \) — точка на \( AC \)) \( ∠ BNC = 90^\circ \) (так как \( BH \) — высота), \( ∠ C = ∠ C \).
  5. В треугольнике \( ABC \), \( ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ BCA = 180^\circ \).
  6. В треугольнике \( BHC \), \( ∠ HBC + ∠ C = 90^\circ \).
  7. Рассмотрим треугольник \( ABM \). \( BM \) — медиана, значит \( AM = MC \).
  8. По условию \( BC = BM \).
  9. В равнобедренном треугольнике \( BCM \) медиана \( BM \) к основанию \( BC \) не перпендикулярна \( BC \), если \( ∠ BMC = 90^\circ \), то \( BC \) — гипотенуза, что противоречит условию, что \( BM \) — медиана.
  10. Следовательно, \( ∠ BMC \) не равно \( 90^\circ \).
  11. Если \( BC = BM \), то треугольник \( BCM \) равнобедренный. Угол \( BCM = ∠ BМC \).
  12. В треугольнике \( ABM \) по теореме косинусов: \( AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 AB · BM · · · · · · C ∠ ABM \).
  13. В треугольнике \( ABC \) по теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
  14. Также \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \) и \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).
  15. По условию \( BC = BM \).
  16. Рассмотрим случай, когда \( ∠ C = 30^\circ \). Тогда \( AB = \frac{1}{2} AC = \frac{79}{2} \). \( BC = \frac{√{3}}{2} AC = \frac{79√{3}}{2} \). \( BM = BC = \frac{79√{3}}{2} \).
  17. В треугольнике \( ABM \), \( AM = \frac{AC}{2} = \frac{79}{2} \).
  18. \( BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 AB · AM · · · · · · C ∠ BAC \).
  19. \( (\frac{79√{3}}{2})^2 = (\frac{79}{2})^2 + (\frac{79}{2})^2 - 2 \frac{79}{2} \frac{79}{2} · · · C ∠ BAC \).
  20. \( \frac{79^2 · 3}{4} = \frac{79^2}{4} + \frac{79^2}{4} - 2 \frac{79^2}{4} · · · C ∠ BAC \).
  21. \( 3 = 1 + 1 - 2 · · · C ∠ BAC \). \( 3 = 2 - 2 · · · C ∠ BAC \). \( 1 = -2 · · · C ∠ BAC \). \( · · · C ∠ BAC = -\frac{1}{2} \).
  22. Такого угла не существует.
  23. Вернемся к \( BC = BM \). Треугольник \( BCM \) равнобедренный.
  24. Медиана \( BM \) в \( △ BCM \) не является высотой.
  25. Рассмотрим \( △ ABC \). \( BH \) — высота, \( BM \) — медиана.
  26. \( HC = MC - HM \) или \( HC = MC + HM \).
  27. \( MC = \frac{AC}{2} = \frac{79}{2} \).
  28. В \( △ BHC \): \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).
  29. В \( △ ABM \): \( AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 AM · BM · · · · · C ∠ AMB \).
  30. \( AB^2 = (\frac{79}{2})^2 + BC^2 - 2 \frac{79}{2} BC · · · C ∠ AMB \).
  31. \( AB^2 = BH^2 + AH^2 \).
  32. \( AC = AH + HC = 79 \). \( HC = 79 - AH \).
  33. \( BC^2 = BH^2 + (79 - AH)^2 \).
  34. \( BM^2 = (\frac{79}{2})^2 + BH^2 + AH^2 - 2 \frac{79}{2} · BH · · · C ∠ BAH \).
  35. \( BC^2 = BH^2 + (79 - AH)^2 \). \( BM = BC \). \( BM^2 = BC^2 \).
  36. \( (\frac{79}{2})^2 + BH^2 + AH^2 - 79 · BH · · · C ∠ BAH = BH^2 + (79 - AH)^2 \).
  37. \( \frac{79^2}{4} + AH^2 - 79 · BH · · · C ∠ BAH = 79^2 - 158 AH + AH^2 \).
  38. \( \frac{79^2}{4} - 79^2 = 79 · BH · · · C ∠ BAH - 158 AH \).
  39. \( -\frac{3 · 79^2}{4} = 79 · BH · · · C ∠ BAH - 158 AH \).
  40. В \( △ ABH \): \( AB = BH / · · · C ∠ BAH \). \( BH = AB · · · C ∠ BAH \).
  41. \( -\frac{3 · 79^2}{4} = 79 · AB · (· · · C ∠ BAH)^2 - 158 AH \).
  42. Условие \( BC = BM \) означает, что точка \( M \) лежит на окружности с центром \( B \) и радиусом \( BC \).
  43. Также \( M \) — середина \( AC \).
  44. Пусть \( C = (0, 0) \), \( A = (79, 0) \).
  45. \( B = (x, y) \). \( M = (79/2, 0) \).
  46. \( BC^2 = x^2 + y^2 \).
  47. \( BM^2 = (x - 79/2)^2 + y^2 \).
  48. \( x^2 + y^2 = (x - 79/2)^2 + y^2 \).
  49. \( x^2 = x^2 - 79x + (79/2)^2 \).
  50. \( 79x = (79/2)^2 \). \( x = 79/4 \).
  51. \( B = (79/4, y) \).
  52. \( H \) — проекция \( B \) на \( AC \), значит \( H = (79/4, 0) \).
  53. \( AH = |79 - 79/4| = |(316 - 79)/4| = 237/4 = 59.25 \).
  54. Проверка: \( BC^2 = (79/4)^2 + y^2 \). \( BM^2 = (79/4 - 79/2)^2 + y^2 = (-79/4)^2 + y^2 = (79/4)^2 + y^2 \). Условие \( BC = BM \) выполнено.
  55. \( AH = 79 - x = 79 - 79/4 = 237/4 = 59.25 \).

Ответ: 59.25