16. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 76°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Задание 16

Дано:

• Окружность с центром О.
• Касательные в точках А и В пересекаются под углом \( 76^\circ \).

Найти: угол \( ∠ ABO \).

Решение:

1. Пусть точки касания — \( A \) и \( B \). Точка пересечения касательных — \( C \).
2. \( ∠ ACB = 76^\circ \).
3. \( OA ⊥ AC \) и \( OB ⊥ BC \) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
4. \( ∠ OAC = ∠ OBC = 90^\circ \).
5. Рассмотрим четырёхугольник \( OACB \). Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^\circ \).
6. \( ∠ AOB + ∠ OAC + ∠ ACB + ∠ OBC = 360^\circ \).
7. \( ∠ AOB + 90^\circ + 76^\circ + 90^\circ = 360^\circ \).
8. \( ∠ AOB + 256^\circ = 360^\circ \).
9. \( ∠ AOB = 360^\circ - 256^\circ = 104^\circ \).
10. Рассмотрим треугольник \( OAB \). \( OA = OB \) (радиусы окружности).
11. Следовательно, \( △ OAB \) — равнобедренный.
12. \( ∠ OAB = ∠ OBA \).
13. Сумма углов в \( △ OAB \): \( ∠ AOB + ∠ OAB + ∠ OBA = 180^\circ \).
14. \( 104^\circ + 2 ∠ OBA = 180^\circ \).
15. \( 2 ∠ OBA = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ \).
16. \( ∠ OBA = 76^\circ / 2 = 38^\circ \).
17. \( ∠ ABO = 38^\circ \).

Ответ: 38