17 Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. ВС=3, AD=7, AC=20. Найдите длину отрезка АО.

Решение:

• В трапеции ABCD с основаниями BC и AD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
• Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (угол BOC = угол AOD как вертикальные, угол OBC = угол ODA как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD).
• Отношение подобных сторон равно отношению оснований: / = BC/AD.
• / = 3/7.
• Также треугольники AOB и COD подобны по аналогичным причинам (угол AOB = угол COD как вертикальные, угол OAB = угол OCD как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей AC).
• Из подобия треугольников BOC и AOD следует, что AO/OC = AD/BC = 7/3.
• Известно, что AC = AO + OC = 20.
• Выразим OC через AO: OC = AC - AO = 20 - AO.
• Подставим в отношение: AO/(20 - AO) = 7/3.
• Решим уравнение: 3  AO = 7  (20 - AO)
• 3  AO = 140 - 7  AO
• 3  AO + 7  AO = 140
• 10  AO = 140
• AO = 140 / 10
• AO = 14

Ответ: 14