16. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём AB = 3, BC = 24. Найдите АК.

Решение:

Согласно свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению отрезков секущей от этой точки до пересечения с окружностью.

В данном случае, точка А находится вне окружности. Прямая АК — касательная, а прямая ABC — секущая.

Длина отрезка секущей от точки А до ближайшей точки окружности (В) равна \( AB = 3 \).

Длина отрезка секущей от точки А до дальней точки окружности (С) равна \( AC = AB + BC = 3 + 24 = 27 \).

По теореме о касательной и секущей:

\[ AK^2 = AB \cdot AC \]

Подставим известные значения:

\[ AK^2 = 3 \cdot 27 \]

\[ AK^2 = 81 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ AK = \sqrt{81} \]

\[ AK = 9 \]

Ответ: 9