163. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Задание 163

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \), в котором \( AB = BC \).

Пусть \( D \) — середина стороны \( AB \), \( E — середина стороны BC \), \( F — середина стороны AC \).

Нужно доказать, что \( \triangle DEF \) — равнобедренный.

Решение:

1. По теореме о средней линии треугольника:
• Отрезок \( DE \), соединяющий середины сторон \( AB \) и \( BC \), параллелен стороне \( AC \) и равен половине \( AC \). То есть \( DE \parallel AC \) и \( DE = \frac{1}{2} AC = AF = FC \).
• Отрезок \( EF \), соединяющий середины сторон \( BC \) и \( AC \), параллелен стороне \( AB \) и равен половине \( AB \). То есть \( EF \parallel AB \) и \( EF = \frac{1}{2} AB \).
• Отрезок \( DF \), соединяющий середины сторон \( AB \) и \( AC \), параллелен стороне \( BC \) и равен половине \( BC \). То есть \( DF \parallel BC \) и \( DF = \frac{1}{2} BC \).
2. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный и \( AB = BC \), то \( \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC \).
3. Следовательно, \( EF = DF \).
4. Если в треугольнике \( \triangle DEF \) две стороны равны ( \( EF = DF \)), то этот треугольник является равнобедренным.

Вывод: Середины сторон равнобедренного треугольника образуют вершины другого равнобедренного треугольника.