Задание 162

Дано:

\( \triangle ADE \) — равнобедренный, \( AD = AE \) (боковые стороны), \( DE \) — основание.
\( B \) — точка на \( AD \), \( C \) — точка на \( AE \).
Рисунок 92.

Доказать:

а) Если \( BD = CE \), то \( \angle CAD = \angle BAE \) и \( AB = AC \).

б) Если \( \angle CAD = \angle BAE \), то \( BD = CE \) и \( AB = AC \).

Решение:

Часть а) Если \( BD = CE \), то \( \angle CAD = \angle BAE \) и \( AB = AC \).

Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACE \).
У них:

\( AD = AE \) (как боковые стороны равнобедренного \( \triangle ADE \)).
\( \angle DAB = \angle EAC \) (это один и тот же угол \( \angle DAE \)).
\( BD = CE \) (по условию).

Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle ACE \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:

\( AB = AC \) (это то, что нам нужно доказать в части а)).
\( \angle ADB = \angle AEC \) (углы при основании \( DE \) равнобедренного \( \triangle ADE \)).
\( \angle ABD = \angle ACE \).

Теперь рассмотрим углы \( \angle CAD \) и \( \angle BAE \).
\( \angle CAD = \angle CAE + \angle EAD = \angle CAE + \angle DAE \) (не совсем верно, нужно иначе).
Давайте рассмотрим углы \( \angle DAE \) и \( \angle BAC \).
\( \angle BAC = \angle BAE + \angle EAC \). \( \angle DAE = \angle DAB + \angle BAE \).
Из \( \triangle ABD = \triangle ACE \) следует \( AB = AC \).
Также из \( \triangle ABD = \triangle ACE \) следует \( \angle ABD = \angle ACE \).
Нам нужно доказать \( \angle CAD = \angle BAE \).
\( \angle CAD = \angle DAE - \angle CDE \) (неверно).
Давайте переформулируем: \( \angle CAD \) и \( \angle BAE \).
\( \angle BAC \) — общий для \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADE \).
\( \angle DAE \) — общий для \( \triangle ADE \).
Рассмотрим \( \angle BAE \) и \( \angle CAD \).
\( \angle BAE = \angle BAD + \angle DAE \) — не так.
\( \angle BAE = \angle BAC + \angle CAE \)
\( \angle CAD = \angle CAE + \angle EAD \)
Если \( AB = AC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
\( \angle ABC = \angle ACB \).
\( \angle DAE = \angle DAB + \angle BAE \).
\( \angle DAE = \angle DAC + \angle CAE \).
Поскольку \( \angle DAB = \angle EAC \) (это один и тот же угол \( \angle DAE \)), и \( AB = AC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
\( \angle ABC = \angle ACB \).
\( \angle CAE \) — общий для \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADE \).
\( \angle DAB \) — общий для \( \triangle ABD \) и \( \triangle ADE \).
Из \( \triangle ABD = \triangle ACE \) мы получили \( AB = AC \).
Теперь рассмотрим \( \angle CAD \) и \( \angle BAE \).
\( \angle CAD = \angle DAE - \angle EAC \).
\( \angle BAE = \angle DAE - \angle DAB \).
Поскольку \( \angle EAC = \angle DAB \) (это один и тот же угол \( \angle DAE \) или \( \angle BAC \)), то \( \angle CAD = \angle BAE \).
Итак, из \( BD = CE \) следует \( AB = AC \) и \( \angle CAD = \angle BAE \).

Часть б) Если \( \angle CAD = \angle BAE \), то \( BD = CE \) и \( AB = AC \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADE \).
\( \angle DAE \) — общий для \( \triangle ADE \).
\( \angle BAC \) — общий для \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADE \).
По условию \( \angle CAD = \angle BAE \).
\( \angle CAD = \angle CAE + \angle EAD \).
\( \angle BAE = \angle BAD + \angle DAE \).
Пусть \( \angle DAE = \alpha \).
\( \angle CAD = \angle CAE + \alpha \).
\( \angle BAE = \angle BAD + \alpha \).
Поскольку \( \angle CAD = \angle BAE \), то \( \angle CAE + \alpha = \angle BAD + \alpha \), откуда следует, что \( \angle CAE = \angle BAD \).
Итак, мы имеем, что \( \angle BAD = \angle CAE \).
Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACE \).
У них:

\( \angle BAD = \angle CAE \) (доказано выше).
\( AD = AE \) (как боковые стороны равнобедренного \( \triangle ADE \)).
\( \angle ADB = \angle AEC \) (углы при основании \( DE \) равнобедренного \( \triangle ADE \)).

Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle ACE \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

\( AB = AC \) (это то, что нам нужно доказать в части б)).
\( BD = CE \) (это то, что нам нужно доказать в части б)).

Вывод: Утверждения доказаны.

Поделись с друзьями