162. На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если BD=CE, то ∠CAD = ∠BAE И AB = = AC; б) если ∠CAD = ∠BAE, то BD = CE И AB = AC.

Задание 162

Дано:

• \( \triangle ADE \) — равнобедренный, \( AD = AE \) (боковые стороны), \( DE \) — основание.
• \( B \) — точка на \( AD \), \( C \) — точка на \( AE \).
• Рисунок 92.

Доказать:

а) Если \( BD = CE \), то \( \angle CAD = \angle BAE \) и \( AB = AC \).

б) Если \( \angle CAD = \angle BAE \), то \( BD = CE \) и \( AB = AC \).

Решение:

Часть а) Если \( BD = CE \), то \( \angle CAD = \angle BAE \) и \( AB = AC \).

1. Рассмотрим \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACE \).
2. У них:
• \( AD = AE \) (как боковые стороны равнобедренного \( \triangle ADE \)).
• \( \angle DAB = \angle EAC \) (это один и тот же угол \( \angle DAE \)).
• \( BD = CE \) (по условию).
3. Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle ACE \) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:
• \( AB = AC \) (это то, что нам нужно доказать в части а)).
• \( \angle ADB = \angle AEC \) (углы при основании \( DE \) равнобедренного \( \triangle ADE \)).
• \( \angle ABD = \angle ACE \).
5. Теперь рассмотрим углы \( \angle CAD \) и \( \angle BAE \).
6. \( \angle CAD = \angle CAE + \angle EAD = \angle CAE + \angle DAE \) (не совсем верно, нужно иначе).
7. Давайте рассмотрим углы \( \angle DAE \) и \( \angle BAC \).
8. \( \angle BAC = \angle BAE + \angle EAC \). \( \angle DAE = \angle DAB + \angle BAE \).
9. Из \( \triangle ABD = \triangle ACE \) следует \( AB = AC \).
10. Также из \( \triangle ABD = \triangle ACE \) следует \( \angle ABD = \angle ACE \).
11. Нам нужно доказать \( \angle CAD = \angle BAE \).
12. \( \angle CAD = \angle DAE - \angle CDE \) (неверно).
13. Давайте переформулируем: \( \angle CAD \) и \( \angle BAE \).
14. \( \angle BAC \) — общий для \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADE \).
15. \( \angle DAE \) — общий для \( \triangle ADE \).
16. Рассмотрим \( \angle BAE \) и \( \angle CAD \).
17. \( \angle BAE = \angle BAD + \angle DAE \) — не так.
18. \( \angle BAE = \angle BAC + \angle CAE \)
19. \( \angle CAD = \angle CAE + \angle EAD \)
20. Если \( AB = AC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
21. \( \angle ABC = \angle ACB \).
22. \( \angle DAE = \angle DAB + \angle BAE \).
23. \( \angle DAE = \angle DAC + \angle CAE \).
24. Поскольку \( \angle DAB = \angle EAC \) (это один и тот же угол \( \angle DAE \)), и \( AB = AC \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
25. \( \angle ABC = \angle ACB \).
26. \( \angle CAE \) — общий для \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADE \).
27. \( \angle DAB \) — общий для \( \triangle ABD \) и \( \triangle ADE \).
28. Из \( \triangle ABD = \triangle ACE \) мы получили \( AB = AC \).
29. Теперь рассмотрим \( \angle CAD \) и \( \angle BAE \).
30. \( \angle CAD = \angle DAE - \angle EAC \).
31. \( \angle BAE = \angle DAE - \angle DAB \).
32. Поскольку \( \angle EAC = \angle DAB \) (это один и тот же угол \( \angle DAE \) или \( \angle BAC \)), то \( \angle CAD = \angle BAE \).
33. Итак, из \( BD = CE \) следует \( AB = AC \) и \( \angle CAD = \angle BAE \).

Часть б) Если \( \angle CAD = \angle BAE \), то \( BD = CE \) и \( AB = AC \).

1. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADE \).
2. \( \angle DAE \) — общий для \( \triangle ADE \).
3. \( \angle BAC \) — общий для \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADE \).
4. По условию \( \angle CAD = \angle BAE \).
5. \( \angle CAD = \angle CAE + \angle EAD \).
6. \( \angle BAE = \angle BAD + \angle DAE \).
7. Пусть \( \angle DAE = \alpha \).
8. \( \angle CAD = \angle CAE + \alpha \).
9. \( \angle BAE = \angle BAD + \alpha \).
10. Поскольку \( \angle CAD = \angle BAE \), то \( \angle CAE + \alpha = \angle BAD + \alpha \), откуда следует, что \( \angle CAE = \angle BAD \).
11. Итак, мы имеем, что \( \angle BAD = \angle CAE \).
12. Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle ACE \).
13. У них:
• \( \angle BAD = \angle CAE \) (доказано выше).
• \( AD = AE \) (как боковые стороны равнобедренного \( \triangle ADE \)).
• \( \angle ADB = \angle AEC \) (углы при основании \( DE \) равнобедренного \( \triangle ADE \)).
14. Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle ACE \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
15. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
• \( AB = AC \) (это то, что нам нужно доказать в части б)).
• \( BD = CE \) (это то, что нам нужно доказать в части б)).

Вывод: Утверждения доказаны.