16. Постройте график функции \( f(x) = \begin{cases} 2.5x - 1, & \text{если } x < 1, \\ 2.5x + 4, & \text{если } 1 \le x \le 3, \\ 1.5x - 8, & \text{если } x > 3 \end{cases} \) и определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y=m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построим график функции по частям.

1. Для \( x < 1 \): \( y = 2.5x - 1 \)

Это линейная функция. Найдём значения в граничных точках:

• При \( x = 1 \) (точка не включается): \( y = 2.5(1) - 1 = 1.5 \). Точка \( (1, 1.5) \) — открытая.
• Возьмём \( x = 0 \): \( y = 2.5(0) - 1 = -1 \). Точка \( (0, -1) \).

2. Для \( 1 \le x \le 3 \): \( y = 2.5x + 4 \)

Это линейная функция. Найдём значения в граничных точках:

• При \( x = 1 \) (точка включается): \( y = 2.5(1) + 4 = 6.5 \). Точка \( (1, 6.5) \) — закрытая.
• При \( x = 3 \) (точка включается): \( y = 2.5(3) + 4 = 7.5 + 4 = 11.5 \). Точка \( (3, 11.5) \) — закрытая.

3. Для \( x > 3 \): \( y = 1.5x - 8 \)

Это линейная функция. Найдём значения в граничных точках:

• При \( x = 3 \) (точка не включается): \( y = 1.5(3) - 8 = 4.5 - 8 = -3.5 \). Точка \( (3, -3.5) \) — открытая.
• Возьмём \( x = 4 \): \( y = 1.5(4) - 8 = 6 - 8 = -2 \). Точка \( (4, -2) \).

Теперь определим значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках.

На графике видно, что прямая \( y = m \) будет иметь две общие точки с графиком в следующих случаях:

• Когда \( y = m \) проходит через точку \( (1, 1.5) \) (хотя сама точка \( x=1 \) не включается в первую часть графика, она является граничной для определения диапазона). В этом случае \( m = 1.5 \). Однако, график не доходит до этой точки, поэтому эта линия будет иметь только одну точку пересечения с первой частью графика (на бесконечности, если бы она была включена).
• Когда \( y = m \) проходит через точку \( (1, 6.5) \). В этом случае \( m = 6.5 \). Прямая \( y = 6.5 \) пересечёт первую часть графика (где \( y=2.5x-1 \)) в точке \( x = (6.5+1)/2.5 = 7.5/2.5 = 3 \). Но эта часть графика действует для \( x < 1 \), значит, пересечения нет. Таким образом, \( y=6.5 \) пересекает вторую часть графика \( y=2.5x+4 \) (где \( 1 \le x \le 3 \)) ровно в одной точке \( x=1 \).
• Когда \( y = m \) проходит через точку \( (3, 11.5) \). В этом случае \( m = 11.5 \). Эта прямая пересечёт вторую часть графика \( y=2.5x+4 \) в точке \( x=3 \) (одна точка).
• Когда \( y = m \) проходит через точку \( (3, -3.5) \) (хотя сама точка \( x=3 \) не включается в третью часть графика, она является граничной). В этом случае \( m = -3.5 \).

Рассмотрим горизонтальные линии \( y=m \):

• Если \( m < -3.5 \), то одна точка пересечения (с третьей частью графика).
• Если \( m = -3.5 \), то одна точка пересечения (с третьей частью графика, точка \( (3, -3.5) \) не включается, но подходит к ней).
• Если \( -3.5 < m < 1.5 \), то две точки пересечения (с первой и третьей частями графика).
• Если \( m = 1.5 \), то две точки пересечения (с первой и третьей частями графика).
• Если \( 1.5 < m < 6.5 \), то две точки пересечения (с первой и третьей частями графика).
• Если \( m = 6.5 \), то одна точка пересечения (с первой частью графика, где \( y=2.5x-1 \rightarrow 2.5x=7.5 \rightarrow x=3 \) - эта точка не входит в первую часть графика, и с второй частью графика \( x=1 \)).
• Если \( 6.5 < m < 11.5 \), то две точки пересечения (со второй и третьей частями графика).
• Если \( m = 11.5 \), то одна точка пересечения (со второй частью графика \( x=3 \)).
• Если \( m > 11.5 \), то одна точка пересечения (со второй частью графика).

Нам нужно ровно две общие точки. Это происходит, когда \( y=m \) находится между значениями \( y \) для \( x < 1 \) и \( x > 3 \) (исключая крайние значения, которые дают одну точку), и между значениями \( y \) для \( 1 ≤ x ≤ 3 \) и \( x > 3 \).

Интервалы, где две точки:

1. \( -3.5 < m < 1.5 \) (пересекает \( y=2.5x-1 \) и \( y=1.5x-8 \))
2. \( 6.5 < m < 11.5 \) (пересекает \( y=2.5x+4 \) и \( y=1.5x-8 \))

Ответ: \( m ∈ (-3.5; 1.5) ∪ (6.5; 11.5) \)