14. Решите уравнение \( \frac{4}{x-9} + \frac{9}{x-4} = 2 \)

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю \( (x-9)(x-4) \):

\( \frac{4(x-4)}{(x-9)(x-4)} + \frac{9(x-9)}{(x-9)(x-4)} = 2 \)

\( \frac{4x - 16 + 9x - 81}{(x-9)(x-4)} = 2 \)

\( \frac{13x - 97}{(x-9)(x-4)} = 2 \)

Раскроем скобки в знаменателе:

\( (x-9)(x-4) = x^2 - 4x - 9x + 36 = x^2 - 13x + 36 \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( \frac{13x - 97}{x^2 - 13x + 36} = 2 \)

При условии, что \( x \neq 9 \) и \( x \neq 4 \), умножим обе части на знаменатель:

\( 13x - 97 = 2(x^2 - 13x + 36) \)

\( 13x - 97 = 2x^2 - 26x + 72 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 2x^2 - 26x - 13x + 72 + 97 = 0 \)

\( 2x^2 - 39x + 169 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-39)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 169 \)

\( D = 1521 - 8 \cdot 169 \)

\( D = 1521 - 1352 = 169 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{52}{4} = 13 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{39 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{26}{4} = 6.5 \)

Оба корня \( 13 \) и \( 6.5 \) не равны \( 4 \) или \( 9 \), поэтому они являются решениями уравнения.

Ответ: \( x_1 = 13, x_2 = 6.5 \)