15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12, tgA = 2√10 / 3. Найдите AB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Мы можем использовать это, чтобы найти длину другого катета (BC), а затем применить теорему Пифагора для нахождения гипотенузы (AB).

1. Находим длину катета BC:
• \( \text{tg}A = \frac{BC}{AC} \)
• \( \frac{2\sqrt{10}}{3} = \frac{BC}{12} \)
• \( BC = 12 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{3} \)
• \( BC = 4 \cdot 2\sqrt{10} \)
• \( BC = 8\sqrt{10} \)
2. Находим длину гипотенузы AB по теореме Пифагора:
• \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
• \( AB^2 = 12^2 + (8\sqrt{10})^2 \)
• \( AB^2 = 144 + (64 \cdot 10) \)
• \( AB^2 = 144 + 640 \)
• \( AB^2 = 784 \)
• \( AB = \sqrt{784} \)
• \( AB = 28 \)

Ответ: 28