15. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠XBY = 28°. Запишите решение и ответ.

Question

15. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите величину угла CBY, если ∠XBY = 28°. Запишите решение и ответ.

Фото задания

Accepted Answer

Решение:

1. Анализ условий:

\( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB = AC \).
На стороне \( AC \) расположены точки \( X \) и \( Y \), причем \( A, X, Y, C \) идут в таком порядке.
\( AX = BX = BY \).
\( \text{угол } XBY = 28° \).
Нужно найти \( \text{угол } CBY \).

2. Рассмотрение равнобедренных треугольников:

Из \( AX = BX \) следует, что \( \triangle AXB \) — равнобедренный. Обозначим \( \text{угол } XAB = \text{угол } XBA = \beta \).
Из \( AB = AC \) следует, что \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Обозначим \( \text{угол } ABC = \text{угол } ACB = \beta \) (так как \( \text{угол } XAB \) является углом \( BAC \), а \( \text{угол } XBA \) входит в \( \text{угол } ABC \)).
Из \( BX = BY \) следует, что \( \triangle BXY \) — равнобедренный. Обозначим \( \text{угол } BXY = \text{угол } BYX = \nu \).

3. Связь углов:

В \( \triangle ABC \): \( \text{угол } BAC = \beta \). \( \text{угол } ABC = \beta \). \( \text{угол } ACB = \beta \). Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна 180°:

\[ \beta + \beta + \beta = 180° \rightarrow 3\beta = 180° \rightarrow \beta = 60° \]

Это значит, что \( \triangle ABC \) — равносторонний. Это может быть частным случаем, но давайте проверим, если \( \beta \) не равно 60°.

В \( \triangle AXB \): \( \text{угол } BAX = \beta \). \( \text{угол } ABX = \text{угол } AXB = \nu_1 \) (здесь используем \( \nu_1 \) чтобы не путать с \( \nu \) из \( \triangle BXY \)).

\( \text{угол } ABX = 180° - \beta - \nu_1 \). Но \( \text{угол } ABX \) входит в \( \text{угол } ABC \).

Давайте обозначим по-другому:

Пусть \( \text{угол } BAC = \text{угол } ABC = \text{угол } ACB = \beta \). (Так как \( AB=AC \) и \( \beta \) — угол при основании, \( \beta \) — угол при вершине \(A\)).

В \( \triangle AXB \) : \( AB=AX \) (это условие \( AX=BX \) значит \( AB=BX\)) ? Нет, \( AX = BX \). Значит \( \triangle AXB \) равнобедренный с основанием \( AB \).

Обозначим \( \text{угол } BAC = \beta \). Тогда \( \text{угол } ABC = \text{угол } ACB = (180° - \beta) / 2 = 90° - \beta/2 \).

В \( \triangle AXB \): \( AX = BX \). \( \text{угол } BAX = \beta \). \( \text{угол } ABX = \text{угол } BAX = \beta \). \( \text{угол } AXB = 180° - 2\beta \).

Угол \( AXB \) — внешний угол для \( \triangle BXC \).

Из \( AX = BX \), \( \text{угол } ABX = \text{угол } BAX = \beta \).

\( \text{угол } ABC = 90° - \beta/2 \). Значит \( \text{угол } XBC = \text{угол } ABC - \text{угол } ABX = (90° - \beta/2) - \beta = 90° - 3\beta/2 \).

В \( \triangle BXY \): \( BX = BY \). \( \text{угол } BXY = \text{угол } BYX = \nu \).

\( \text{угол } XBY = 28° \).

Сумма углов в \( \triangle BXY \): \( \nu + \nu + 28° = 180° \rightarrow 2\nu = 152° \rightarrow \nu = 76° \).

\( \text{угол } BXY = 76° \).

\( \text{угол } AXB + \text{угол } BXY = 180° \) (как смежные углы, если \( Y \) лежит на \( AC \)).

\( (180° - 2\beta) + 76° = 180° \)

\[ 180° - 2\beta + 76° = 180° \]

\[ -2\beta + 76° = 0 \]

\[ 2\beta = 76° \]

\[ \beta = 38° \]

Тогда \( \text{угол } BAC = 38° \).

\( \text{угол } ABC = \text{угол } ACB = 90° - 38°/2 = 90° - 19° = 71° \).

Проверим \( \triangle AXB \): \( \text{угол } BAX = 38° \). \( \text{угол } ABX = 38° \). \( \text{угол } AXB = 180° - 2 \times 38° = 180° - 76° = 104° \).

\( \text{угол } XBC = \text{угол } ABC - \text{угол } ABX = 71° - 38° = 33° \).

Теперь найдем \( \text{угол } CBY \).

\( \text{угол } ABC = \text{угол } ABX + \text{угол } XBY + \text{угол } YBC \).

\[ 71° = 38° + 28° + \text{угол } YBC \]

\[ 71° = 66° + \text{угол } YBC \]

\[ \text{угол } YBC = 71° - 66° = 5° \]

Значит, \( \text{угол } CBY = 5° \).

Проверка:

\( AX=BX \implies \triangle AXB \) равнобедренный. \( \text{угол } XAB = \beta \) (угол \( BAC \)). \( \text{угол } XBA = \beta \). \( \text{угол } AXB = 180 - 2\beta \).

\( AB=AC \implies \triangle ABC \) равнобедренный. \( \text{угол } ABC = \text{угол } ACB = \beta' \). \( \beta + \beta = \beta' \) ? Нет, \( \text{угол } BAC = \beta \).

Пусть \( \text{угол } BAC = \beta \). Тогда \( \text{угол } ABC = \text{угол } ACB = (180 - \beta) / 2 \).

В \( \triangle AXB \): \( AX = BX \). \( \text{угол } BAX = \beta \). \( \text{угол } ABX = \text{угол } BAX = \beta \). \( \text{угол } AXB = 180 - 2\beta \).

\( \text{угол } ABC = (180 - \beta) / 2 \). \( \text{угол } XBC = \text{угол } ABC - \text{угол } ABX = (180 - \beta) / 2 - \beta = 90 - \beta/2 - \beta = 90 - 3\beta/2 \).

В \( \triangle BXY \): \( BX=BY \). \( \text{угол } XBY = 28° \). \( \text{угол } BXY = \text{угол } BYX = (180 - 28) / 2 = 152 / 2 = 76° \).

\( \text{угол } AXB + \text{угол } BXY = 180° \) (смежные)

\[ (180 - 2\beta) + 76° = 180° \]

\[ 180 - 2\beta + 76 = 180 \]

\[ -2\beta = -76° \]

\[ \beta = 38° \]

\( \text{угол } BAC = 38° \).

\( \text{угол } ABC = (180 - 38) / 2 = 142 / 2 = 71° \).

\( \text{угол } ABX = \beta = 38° \).

\( \text{угол } XBC = \text{угол } ABC - \text{угол } ABX = 71° - 38° = 33° \).

\( \text{угол } CBY = \text{угол } ABC - \text{угол } ABX - \text{угол } XBY \)

\[ \text{угол } CBY = 71° - 38° - 28° = 71° - 66° = 5° \]

Ответ: 5°.