10. Найдите все трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Решение:

Пусть трехзначное число имеет вид \( 100a + 10b + c \), где \( a, b, c \) — цифры, причем \( a \neq 0 \). По условию задачи, число в 12 раз больше суммы своих цифр, то есть:

\[ 100a + 10b + c = 12(a + b + c) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c \]

\[ 100a - 12a + 10b - 12b + c - 12c = 0 \]

\[ 88a - 2b - 11c = 0 \]

\[ 88a = 2b + 11c \]

Так как \( a \) — первая цифра трехзначного числа, \( a \neq 0 \) и \( a \neq 1, ..., 9 \). Также \( b, c \) — цифры от 0 до 9.

Рассмотрим возможные значения \( a \):

• Если \( a = 1 \): \( 88 \times 1 = 88 \). Тогда \( 2b + 11c = 88 \).
• Если \( c = 0 \), то \( 2b = 88 \rightarrow b = 44 \), что невозможно, так как \( b \) — цифра.
• Если \( c = 1 \), то \( 2b = 88 - 11 = 77 \), \( b = 38.5 \) — невозможно.
• Если \( c = 2 \), то \( 2b = 88 - 22 = 66 \), \( b = 33 \) — невозможно.
• Если \( c = 3 \), то \( 2b = 88 - 33 = 55 \), \( b = 27.5 \) — невозможно.
• Если \( c = 4 \), то \( 2b = 88 - 44 = 44 \), \( b = 22 \) — невозможно.
• Если \( c = 5 \), то \( 2b = 88 - 55 = 33 \), \( b = 16.5 \) — невозможно.
• Если \( c = 6 \), то \( 2b = 88 - 66 = 22 \), \( b = 11 \) — невозможно.
• Если \( c = 7 \), то \( 2b = 88 - 77 = 11 \), \( b = 5.5 \) — невозможно.
• Если \( c = 8 \), то \( 2b = 88 - 88 = 0 \), \( b = 0 \). Получаем число \( 100 \times 1 + 10 \times 0 + 8 = 108 \). Проверка: \( 1+0+8 = 9 \). \( 108 : 9 = 12 \). Это число подходит.
• Если \( c = 9 \), то \( 2b = 88 - 99 = -11 \) — невозможно, так как \( b \neq 0 \).
• Если \( a = 2 \): \( 88 \times 2 = 176 \). Тогда \( 2b + 11c = 176 \). Максимальное значение \( 2b + 11c \) при \( b=9, c=9 \) равно \( 2 \times 9 + 11 \times 9 = 18 + 99 = 117 \). Так как \( 176 > 117 \), то при \( a=2 \) решений нет.

Таким образом, единственное трехзначное число, удовлетворяющее условию, — это 108.

Ответ: 108.