9. В классе 15 компьютеров. Можно ли их соединить друг с другом так, чтобы каждый компьютер был соединен ровно с пятью другими?

Решение:

Эта задача связана с теорией графов. Каждый компьютер можно представить как вершину графа, а соединение между компьютерами — как ребро. Условие, что каждый компьютер соединен ровно с пятью другими, означает, что степень каждой вершины в графе должна быть равна 5.

По теореме о рукопожатиях (один из основных результатов теории графов), сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его ребер. То есть, \( \text{Сумма степеней} = 2 \times \text{Число ребер} \).

В нашем случае, у нас 15 вершин (компьютеров), и степень каждой вершины равна 5. Следовательно, сумма степеней всех вершин равна \( 15 \times 5 = 75 \).

Однако, число 75 является нечетным. Согласно теореме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин в любом графе всегда должна быть четным числом (так как она равна удвоенному числу ребер).

Поскольку сумма степеней в данном случае (75) нечетна, такой граф построить невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.