15. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (так как сумма углов в треугольнике 180°, а прямой угол 90°).

Треугольник с двумя равными углами является равнобедренным. Следовательно, катеты, лежащие напротив этих углов, равны.

Так как один катет равен 12, то второй катет также равен 12.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 144 = 72 \]

Ответ: 72.