14. У треугольника со сторонами 12 и 16 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 8. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение:

Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне: \( S = \frac{1}{2}ab \).

Пусть \( a = 12 \) и \( b = 16 \) — стороны треугольника. Пусть \( h_a = 8 \) — высота, проведённая к стороне \( a \). Пусть \( h_b \) — высота, проведённая к стороне \( b \).

Площадь треугольника, вычисленная через сторону \( a \) и высоту \( h_a \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48 \]

Теперь, используя ту же площадь, найдём высоту \( h_b \), проведённую к стороне \( b \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \]\[ 48 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot h_b \]\[ 48 = 8 \cdot h_b \]\[ h_b = \frac{48}{8} = 6 \]

Ответ: 6.