15. Найдите \( x \).

Решение:

\( KN \) — хорда. \( OK \) и \( ON \) — радиусы.

\( \triangle OKN \) — равнобедренный, так как \( OK = ON \) (радиусы).

\( OM \) — отрезок, \( M \) — точка на \( ON \).

\( KM \) перпендикулярно \( ON \), поэтому \( \angle KMO = 90^{\circ} \).

\( KM = 2,8 \).

\( OK = x \) (радиус).

\( \angle KON = 120^{\circ} \) — центральный угол.

В равнобедренном \( \triangle OKN \), \( OK = ON \). Угол \( \angle OKN = \angle ONK = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный \( \triangle KMO \).

У нас есть \( KM = 2,8 \) и \( \angle KMO = 90^{\circ} \).

Нам нужно найти \( OK = x \).

Угол \( \angle KOM \) — часть центрального угла \( \angle KON = 120^{\circ} \).

Если \( OM \) — высота в равнобедренном \( \triangle OKN \) к основанию \( KN \), то \( OM \) также является биссектрисой \( \angle KON \).

Однако, \( KM \) перпендикулярно \( ON \), а не \( KN \).

В прямоугольном \( \triangle KMO \), \( \angle KMO = 90^{\circ} \).

Нам известен \( KM = 2,8 \) и \( \angle OKN = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle KOM \) — это угол, смежный с \( \angle MOK \), где \( M \) лежит на \( ON \).

В \( \triangle OKN \), \( \angle OKN = 30^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle KMO \), \( \angle KMO = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle MKO \) и \( \angle OKN \) связаны.

Если \( OM \) — высота, то \( \angle KMO \) не обязательно \( 90^{\circ} \).

Дано, что \( KM \) перпендикулярно \( ON \), значит \( \angle KMO = 90^{\circ} \).

\( x = OK \) — гипотенуза в \( \triangle KMO \).

Нужен угол \( \angle KOM \) или \( \angle KMO \).

Рассмотрим \( \triangle OKN \). \( OK = ON \), \( \angle KON = 120^{\circ} \). \( \angle OKN = \angle ONK = 30^{\circ} \).

В \( \triangle KMO \), \( \angle KMO = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle KOM \) — это угол \( \angle KON \) или его часть.

Если \( M \) лежит на \( ON \), то \( \angle KOM \) — это часть \( \angle KON \).

В \( \triangle KMO \), \( \sin(\angle KOM) = \frac{KM}{OK} = \frac{2.8}{x} \).

Угол \( \angle KOM \) — это угол \( \angle MON \) или \( \angle MOK \).

В \( \triangle OKN \), \( \angle OKN = 30^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle KMO \). \( \angle KMO = 90^{\circ} \). \( KM = 2.8 \).

Угол \( \angle KOM \) — это угол \( \angle MON \). Это центральный угол.

В \( \triangle OKN \), \( \angle OKN = 30^{\circ} \). \( \angle ONK = 30^{\circ} \). \( \angle KON = 120^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle KMO \). \( \angle KMO = 90^{\circ} \). \( KM = 2.8 \).

Угол \( \angle KOM \) — это угол \( \angle MON \).

Если \( M \) лежит на \( ON \), то \( \angle MON \) — это угол \( \angle KON = 120^{\circ} \) или его часть.

В \( \triangle KMO \) нам известен \( KM \) и мы ищем \( OK \).

Угол \( \angle OKN = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle KMO = 90^{\circ} \).

Если \( \angle KMN \) — это угол \( \angle KMO \), то \( \angle KMO = 90^{\circ} \).

В \( \triangle KMO \), \( \sin(\angle KOM) = \frac{KM}{OK} = \frac{2.8}{x} \).

Угол \( \angle KOM \) — это угол \( \angle MON \) (центральный). Но \( M \) находится на \( ON \).

Если \( M \) находится на \( ON \) и \( KM \) перпендикулярно \( ON \), то \( OM \) — высота в \( \triangle OKN \).

Но \( \triangle OKN \) — равнобедренный, поэтому высота \( OM \) является и биссектрисой \( \angle KON \).

\( \angle KOM = \frac{1}{2} \angle KON = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Теперь в прямоугольном \( \triangle KMO \): \( \angle KMO = 90^{\circ} \), \( KM = 2.8 \), \( \angle KOM = 60^{\circ} \).

\( \sin(\angle KOM) = \frac{KM}{OK} \)

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{2.8}{x} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2.8}{x} \)

\( x = \frac{2.8 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{5.6}{\sqrt{3}} = \frac{5.6 \sqrt{3}}{3} \).

Ответ: \( \frac{5.6 \sqrt{3}}{3} \).