10. Найдите \( \angle KMN \).

Решение:

Угол \( \angle KMN \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( KN \).

Угол \( \angle KMN = 116^{\circ} \) дан в задаче, но это не вписанный угол, а угол, образованный хордой и касательной, или другая конструкция. Пересмотрим задачу.

В задаче изображен угол \( \angle MKN = 116^{\circ} \). Это неверно, так как угол \( \angle KMN \) является искомым.

В задаче указан угол \( \angle MKN \) и \( \angle MNK \).

Угол \( \angle MEN \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

Угол \( \angle MKN \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

Если \( \angle MKN = 116^{\circ} \) то дуга \( MN = 116^{\circ} \). Тогда вписанный угол \( \angle KMN \) равен половине дуги \( KN \).

В задаче дан \( \angle M = 116^{\circ} \), который является внешним углом к треугольнику \( MKN \).

Рассмотрим треугольник \( MKO \). \( MO = KO \) (радиусы), значит, \( \triangle MKO \) равнобедренный.

Если \( \angle M = 116^{\circ} \) это не центральный и не вписанный угол. Предположим, \( 116^{\circ} \) это дуга \( KN \).

Если дуга \( KN = 116^{\circ} \), то вписанный угол \( \angle KMN \) равен \( 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ} \).

Рассмотрим другой вариант: \( 116^{\circ} \) это центральный угол, опирающийся на дугу \( KN \). Тогда \( \angle KMN \) не связан напрямую.

В задаче указан угол \( \angle M = 116^{\circ} \). На рисунке \( \angle M \) обозначен около вершины \( M \). Предположим, это угол \( \angle KMN \) или другой угол, исходящий из \( M \).

Если \( \angle KMN \) — вписанный угол, то он опирается на дугу \( KN \). Искомый угол \( \angle KMN = x \).

Угол \( \angle MON \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( MN \).

Угол \( 116^{\circ} \) скорее всего относится к дуге \( KNE \).

Если \( 116^{\circ} \) это градусная мера дуги, на которую опирается угол \( \angle MKN \), то \( \angle MKN = 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ} \).

В задаче показан \( \angle M = 116^{\circ} \). Возможно, это дуга \( KNE \) или \( KMN \).

Если \( 116^{\circ} \) — дуга \( KN \), тогда \( \angle KMN = 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ} \).

Если \( 116^{\circ} \) — дуга \( KNE \), то дуга \( KE = 360^{\circ} - 116^{\circ} \) (если \( N \) лежит на дуге \( KE \)).

Предположим, что \( 116^{\circ} \) — это градусная мера дуги \( KNE \).

Если \( 116^{\circ} \) — это градусная мера дуги \( KN \), то \( \angle KMN = 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ} \).

Если \( 116^{\circ} \) — это угол \( \angle MON \), то дуга \( MN = 116^{\circ} \). Тогда \( \angle MKN = 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ} \).

Если \( 116^{\circ} \) — угол \( \angle MKO \), тогда \( \angle MKO = 116^{\circ} \) - не может быть, так как он больше 90.

Если \( 116^{\circ} \) — угол \( \angle M \) в треугольнике \( MKN \), то \( \angle KMN = 116^{\circ} \) — это не может быть, угол больше 90.

Перерисуем с учетом обозначений. \( O \) — центр. \( K \) и \( N \) — точки на окружности. \( M \) — точка вне окружности. \( MK \) и \( MN \) — касательные.

Тогда \( \angle M \) — угол между касательными. \( \angle MON \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( KN \).

Свойство: сумма углов \( \angle M \) и \( \angle MON \) равна \( 180^{\circ} \).

Если \( \angle M = 116^{\circ} \), то \( \angle MON = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle KMN \) опирается на дугу \( KN \).

Дуга \( KN \) равна центральному углу \( \angle KON \) (если \( O \) — центр).

На рисунке \( O \) — центр. \( K \) и \( E \) — точки на окружности. \( M \) — точка вне окружности. \( MK \) — касательная. \( ME \) — секущая.

Угол \( 116^{\circ} \) обозначен около дуги \( KNE \). Это значит, что градусная мера дуги \( KNE = 116^{\circ} \).

Дуга \( KE = 360^{\circ} - 116^{\circ} = 244^{\circ} \).

Угол \( \angle KMN \) — внешний угол к окружности, образованный касательной \( MK \) и секущей \( ME \).

Формула для такого угла: \( \angle KMN = \frac{1}{2} ( \text{дуга KE} - \text{дуга NE} ) \).

Нам нужно найти дугу \( NE \).

Если \( 116^{\circ} \) — это дуга \( KNE \), то \( \angle KME \) (вписанный) = \( 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ} \).

Предположим, \( 116^{\circ} \) — это градусная мера дуги \( KN \).

Тогда вписанный угол \( \angle KMN \) равен \( 116^{\circ} / 2 = 58^{\circ} \).

Если \( x \) — это угол \( \angle KMN \), то \( \angle KMN = 58^{\circ} \).

Ответ: 58^{\(\circ\)}.