"Always" (всегда) указывает на регулярное, повторяющееся действие.
Это характерно для Present Simple.
С местоимением "I" глагол остается в начальной форме.
Однако, "I always stay" звучало бы нормально, но вариант "am staying" здесь подчеркивает временность пребывания в отеле, что тоже возможно.
При наличии "always" обычно используется Present Simple. Но контекст "in the same hotel in New York" может намекать на временное проживание, что используется с Present Continuous.
Рассмотрим варианты: "stay" - Present Simple, "stays" - Present Simple (не подходит для "I"), "am staying" - Present Continuous.
Контекст "in the same hotel in New York" может указывать на то, что это временное проживание, поэтому Present Continuous предпочтительнее.