15. Диагональ AC ромба ABCD равна 48, а \( \text{tg} \angle BCA = \frac{7}{24} \). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Пусть диагонали пересекаются в точке O. Тогда \( AC = 48 \), \( AO = OC = \frac{48}{2} = 24 \).

В прямоугольном треугольнике BOC:

\[ \text{tg} \angle BCA = \frac{OB}{OC} \]

Нам дано \( \text{tg} \angle BCA = \frac{7}{24} \) и \( OC = 24 \).

\[ \frac{OB}{24} = \frac{7}{24} \]

\[ OB = 7 \]

Тогда диагональ BD = 2 * OB = 2 * 7 = 14.

Сторона ромба AB находится по теореме Пифагора в треугольнике AOB:

\[ AB^2 = AO^2 + OB^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 \]

\[ AB = \sqrt{625} = 25 \]

Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 48 \cdot 7 = 336 \]

Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту \( S = AB \cdot h \). Высота ромба \( h \) равна диаметру вписанной окружности.

\[ 336 = 25 \cdot h \]

\[ h = \frac{336}{25} = 13.44 \]

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} \).

\[ r = \frac{13.44}{2} = 6.72 \]

Ответ: 6.72