1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

• Дан прямоугольный треугольник, где гипотенуза (c) = 70, а один из острых углов равен 45°.
• Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а один угол прямой (90°), то второй острый угол равен 180° - 90° - 45° = 45°.
• Следовательно, треугольник является равнобедренным, а катеты (a и b) равны.
• Используем теорему Пифагора: a² + b² = c². Так как a = b, то 2a² = 70².
• 2a² = 4900.
• a² = 2450.
• a = \(\sqrt{2450}\) = \(\sqrt{49 \cdot 50}\) = 7\(\sqrt{50}\) = 7 \(\cdot\) 5\(\sqrt{2}\) = 35\(\sqrt{2}\).
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = \(a \cdot b\) / 2.
• Так как a = b, то S = a²/2.
• S = 2450 / 2 = 1225.

Ответ: 1225