15. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите ВС, если АВ = 34.

Решение:

1. Пусть биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. По условию, точка K лежит на стороне BC.
2. Рассмотрим биссектрису угла A. Она делит угол A пополам: \( \angle BAK = \angle KAD = \frac{1}{2} \angle A \).
3. Рассмотрим биссектрису угла B. Она делит угол B пополам: \( \angle ABK = \angle KBC = \frac{1}{2} \angle B \).
4. Так как ABCD — параллелограмм, то стороны AD и BC параллельны. Биссектриса AK является секущей для параллельных прямых AD и BC. Следовательно, \( \angle DAK = \angle AKB \) (как накрест лежащие углы).
5. Таким образом, \( \angle BAK = \angle AKB \) (так как \( \angle DAK = \angle BAK \)).
6. Из равенства \( \angle BAK = \angle AKB \) следует, что треугольник ABK является равнобедренным с основанием BK. Следовательно, \( AB = BK \).
7. Аналогично, рассмотрим биссектрису угла B. Она делит угол B пополам. Так как AB \(\parallel\) DC, то \( \angle ABK = \angle BKC \) (как накрест лежащие углы).
8. Следовательно, \( \angle KBC = \angle BKC \) (так как \( \angle KBC = \angle ABK \)).
9. Из равенства \( \angle KBC = \angle BKC \) следует, что треугольник BKC является равнобедренным с основанием KC. Следовательно, \( BK = KC \).
10. Таким образом, \( AB = BK \) и \( BK = KC \). Значит, \( AB = BK = KC \).
11. По условию, точка K лежит на стороне BC. Это означает, что \( BC = BK + KC \).
12. Так как \( BK = AB \) и \( KC = BK = AB \), то \( BC = AB + AB = 2 \cdot AB \).
13. Нам дано, что \( AB = 34 \).
14. Следовательно, \( BC = 2 \cdot 34 = 68 \).

Ответ: 68