14. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Решение:

Обозначим:

• \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
• \( v_т = 4 \) км/ч — скорость течения реки.
• \( t_п \) — время движения против течения (ч).
• \( t_о \) — время движения по течению (ч).

Скорость лодки против течения: \( v_п = v_л - v_т = v_л - 4 \) (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v_о = v_л + v_т = v_л + 4 \) (км/ч).

Расстояние против течения равно расстоянию по течению: \( S = 77 \) км.

Время движения против течения: \( t_п = \frac{S}{v_п} = \frac{77}{v_л - 4} \) (ч).

Время движения по течению: \( t_о = \frac{S}{v_о} = \frac{77}{v_л + 4} \) (ч).

По условию, на обратный путь (по течению) было затрачено на 2 часа меньше, чем на путь против течения:

\[ t_о = t_п - 2 \]

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{77}{v_л + 4} = \frac{77}{v_л - 4} - 2 \]

Перенесём \( \frac{77}{v_л - 4} \) в левую часть:

\[ \frac{77}{v_л + 4} - \frac{77}{v_л - 4} = -2 \]

Умножим обе части на -1:

\[ \frac{77}{v_л - 4} - \frac{77}{v_л + 4} = 2 \]

Приведём дроби к общему знаменателю \( (v_л - 4)(v_л + 4) \):

\[ \frac{77(v_л + 4) - 77(v_л - 4)}{(v_л - 4)(v_л + 4)} = 2 \]

\[ \frac{77v_л + 308 - 77v_л + 308}{v_л^2 - 16} = 2 \]

\[ \frac{616}{v_л^2 - 16} = 2 \]

Раскроем пропорцию:

\[ 616 = 2(v_л^2 - 16) \]

\[ 616 = 2v_л^2 - 32 \]

Перенесём 32 в левую часть:

\[ 616 + 32 = 2v_л^2 \]

\[ 648 = 2v_л^2 \]

\[ v_л^2 = \frac{648}{2} = 324 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ v_л = \sqrt{324} \]

Так как \( 18^2 = 324 \), то \( v_л = 18 \).

Скорость лодки в неподвижной воде должна быть больше скорости течения, \( 18 > 4 \), что удовлетворяет условию.

Ответ: 18