15.8. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 метров. Сколькими способами можно это сделать? А сколькими способами можно составить команду из 4 человек для участия в эстафете 100 + 200 + 400 + 800?

Решение:

Часть 1: Команда для бега на 1000 метров.

Состав команды из 4 человек для бега на 1000 метров. Порядок выбора членов команды не имеет значения, поэтому это задача на сочетания.

Используем формулу для сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \( n=30 \) (общее количество членов клуба) и \( k=4 \) (количество человек в команде).

\[ C_{30}^4 = \frac{30!}{4!(30-4)!} = \frac{30!}{4!26!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27 \times 26!}{ (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 26!} = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

\[ C_{30}^4 = \frac{30}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 29 \times 28 \times 27 = \frac{30}{24} \times 29 \times 28 \times 27 \]

Упростим:

\[ C_{30}^4 = \frac{30 \times 29 \times 28 \times 27}{24} = 5 \times 29 \times 7 \times 27 = 27405 \]

Часть 2: Команда для эстафеты.

Для эстафеты важен порядок, так как каждый член команды бежит на своем этапе (100 м, 200 м, 400 м, 800 м). Это задача на размещения.

Используем формулу для размещений: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \), где \( n=30 \) и \( k=4 \).

\[ A_{30}^4 = \frac{30!}{(30-4)!} = \frac{30!}{26!} = 30 \times 29 \times 28 \times 27 \]

Вычислим произведение:

\[ 30 \times 29 = 870 \]
\[ 28 \times 27 = 756 \]
\[ 870 \times 756 = 657720 \]

Ответ: Для бега на 1000 метров — 27405 способов. Для эстафеты — 657720 способов.