15.6. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?

Решение:

Нам нужно найти количество четырехзначных чисел \( abcd \), где \( 0 < a < b < c < d \).

Поскольку цифры должны быть строго возрастающими, они не могут повторяться. Также первая цифра \( a \) не может быть нулем, так как число четырехзначное.

Мы можем выбрать 4 различные цифры из множества \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \). Как только мы выбрали 4 цифры, существует только один способ расположить их в порядке возрастания.

Например, если мы выбрали цифры \( 2, 5, 8, 9 \), то единственное число, которое мы можем составить, — это \( 2589 \).

Поэтому задача сводится к выбору 4 различных цифр из 9 (от 1 до 9). Это задача на сочетания.

Используем формулу для сочетаний: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \( n=9 \) (цифры от 1 до 9) и \( k=4 \) (количество цифр в числе).

\[ C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{ (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126 \]

Ответ: 126 чисел.