15.3. Сколькими способами на шахматной доске можно расставить 8 ладей, чтобы они не могли бить друг друга?

Решение:

На шахматной доске 8x8. Ладьи бьют друг друга, если находятся на одной горизонтали или вертикали. Чтобы 8 ладей не били друг друга, каждая ладья должна находиться на своей уникальной горизонтали и своей уникальной вертикали.

Это эквивалентно задаче о перестановках. Представим, что мы ставим ладьи по рядам.

1. В первом ряду мы можем поставить ладью в любую из 8 вертикалей.
2. Во втором ряду — в любую из оставшихся 7 вертикалей (так как одну вертикаль уже заняли).
3. В третьем ряду — в любую из оставшихся 6 вертикалей.
4. И так далее, до последнего ряда, где останется только 1 свободная вертикаль.

Общее количество способов будет равно произведению числа вариантов для каждого ряда:

\[ 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 8! \]

Вычислим факториал:

\[ 8! = 40320 \]

Ответ: 40320 способов.