148. В треугольнике DEF известно, что ∠D = 90°, ∠F = 30°. Биссектриса угла Е пересекает катет DF в точке Р. Найдите FP, если EP + PD = 12 см.

1. В треугольнике DEF: $$\angle E = 180° - 90° - 30° = 60°$$. Так как EP - биссектриса, то $$\angle EPD = \angle EPF = 30°$$.

2. Треугольник EFP является равнобедренным ($$\\angle E = \angle EPF = 60°$$, следовательно $$\angle EPF = 60°$$), поэтому $$FP = EF$$.

3. В треугольнике DEF: $$EF = DF \cdot \cos(30°) = DF \cdot \sqrt{3}/2$$.

4. В треугольнике EFP: $$FP = EP \cdot \cos(30°) = EP \cdot \sqrt{3}/2$$.

5. Из условия $$EP + PD = 12$$ и $$FP = EP \cdot \sqrt{3}/2$$, $$PD = DF - FP$$.

6. В треугольнике EFP: $$FP = EF$$. В треугольнике DЕP: $$\angle DEP = 30°$$, $$\angle D = 90°$$, $$\angle EPD = 60°$$. $$PD = EP \cdot \tan(30°) = EP / \sqrt{3}$$.

7. $$EP + PD = EP + EP/\sqrt{3} = EP(1 + 1/\sqrt{3}) = 12$$. $$EP = 12 / (1 + 1/\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} / (\sqrt{3} + 1) = 12\sqrt{3}(\sqrt{3}-1) / 2 = 6(3 - \sqrt{3})$$.

8. $$FP = EP \cdot \sqrt{3}/2 = 6(3 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}/2 = 3\sqrt{3}(3 - \sqrt{3}) = 9\sqrt{3} - 9$$.