152. В окружности проведены радиусы ОМ, ON и ОК (рис. 257). Найдите ∠MON, если ∠ONM = ∠ONK и ∠KON = 62°.

Решение:

Дан радиус \( OK \). Треугольник \( \triangle OKN \) является равнобедренным, так как \( OK = ON \) (радиусы). Следовательно, \( \angle ONK = \angle OKN \).

По условию \( \angle ONM = \angle ONK \). Значит, \( \angle ONM = \angle OKN \).

Рассмотрим \( \triangle OMN \). Стороны \( OM \) и \( ON \) равны как радиусы, значит, \( \triangle OMN \) — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle OMN = \angle ONM \).

Из равенства \( \angle ONM = \angle OKN \) и \( \angle OMN = \angle ONM \) следует, что \( \angle OMN = \angle OKN \).

В \( \triangle OKN \) имеем \( \angle KON = 62^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle OKN \): \( \angle OKN + \angle ONK + \angle KON = 180^{\circ} \).

Так как \( \angle OKN = \angle ONK \), то \( 2 \angle ONK + 62^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( 2 \angle ONK = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ} \).

\( \angle ONK = \frac{118^{\circ}}{2} = 59^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle ONM = 59^{\circ} \).

В равнобедренном \( \triangle OMN \) углы при основании \( \angle OMN = \angle ONM = 59^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle OMN \): \( \angle MON + \angle OMN + \angle ONM = 180^{\circ} \).

\( \angle MON + 59^{\circ} + 59^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle MON + 118^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle MON = 180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ} \).

Ответ: \( \angle MON = 62^{\circ} \).