148. Для каждой из функций \(y=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\) и \(y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\) найдите координаты общих точек её графика с прямой: а) \(x=4{,}5\pi\); б) \(y=-1\); в) \(y=1\); г) \(y=0\).

Обозначим первую функцию \(f(x)=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\), вторую — \(g(x)=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\). Пусть \(k\in\mathbb Z\).

а) При \(x=\frac{9\pi}{2}\): \(f(x)=2\cos\frac{26\pi}{3}=-1\), а \(g(x)=\sin\frac{5\pi}{2}=1\). Точки: для первого графика \(\left(\frac{9\pi}{2},-1\right)\); для второго \(\left(\frac{9\pi}{2},1\right)\).

б) Для \(f(x)=-1\): \(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12\), откуда \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+\pi k\). Точки: \(\left(\frac{\pi}{2}+\pi k,-1\right)\), \(\left(\frac{5\pi}{6}+\pi k,-1\right)\).

Для \(g(x)=-1\): \(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\), поэтому точки \(\left(-\frac{3\pi}{2}+4\pi k,-1\right)\).

в) Для \(f(x)=1\): \(\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\), поэтому \(x=\pi k\) или \(x=\frac{\pi}{3}+\pi k\). Точки: \((\pi k,1)\), \(\left(\frac{\pi}{3}+\pi k,1\right)\).

Для \(g(x)=1\): \(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), поэтому точки \(\left(\frac{\pi}{2}+4\pi k,1\right)\).

г) Для \(f(x)=0\): \(2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k\), откуда точки \(\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},0\right)\).

Для \(g(x)=0\): \(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi k\), откуда точки \(\left(2\pi k-\frac{\pi}{2},0\right)\).

Ответ: координаты точек пересечения приведены для каждой функции в пунктах а–г.