147. Решите уравнения: а) $\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$; б) $\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=1$; в) $\sin 2x\cos 2x=-\frac14$; г) $\sin\frac{x}{3}\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{x}{3}\sin\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt2}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 147. Решите уравнения: а) $\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$; б) $\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=1$;…$ Фото задания

147. Решите уравнения: а) $\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\frac{\sqrt3}{2}$; б) $\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=1$; в) $\sin 2x\cos 2x=-\frac14$; г) $\sin\frac{x}{3}\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{x}{3}\sin\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt2}{2}$.

Accepted Answer

а) По формуле разности синусов левая часть равна $\sin(3x-x)=\sin2x$. Поэтому $\sin2x=\frac{\sqrt3}{2}$, и $x=\frac{\pi}{6}+\pi k$ или $x=\frac{\pi}{3}+\pi k$.
б) Используем тождество $\sin^2u-\cos^2u=-\cos2u$. Получаем $-\cos\frac{x}{2}=1$, то есть $\cos\frac{x}{2}=-1$. Следовательно, $x=2\pi+4\pi k$.
в) По формуле двойного угла $\sin2x\cos2x=\frac12\sin4x$. Тогда $\sin4x=-\frac12$, откуда $x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}$ или $x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}$.
г) По формуле разности синусов получаем $\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$. Аргумент равен $\frac{\pi}{4}+2\pi k$ или $\frac{3\pi}{4}+2\pi k$. Поэтому $x=\frac{27\pi}{20}+6\pi k$ или $x=\frac{57\pi}{20}+6\pi k$.

Во всех пунктах $k\in\mathbb Z$.

Ответ: а) $x=\frac{\pi}{6}+\pi k$ или $x=\frac{\pi}{3}+\pi k$; б) $x=2\pi+4\pi k$; в) $x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}$ или $x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}$; г) $x=\frac{27\pi}{20}+6\pi k$ или $x=\frac{57\pi}{20}+6\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

147. Решите уравнения: а) \(\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\); б) \(\sin^2\frac{x}{4}-\cos^2\frac{x}{4}=1\); в) \(\sin 2x\cos 2x=-\frac14\); г) \(\sin\frac{x}{3}\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{x}{3}\sin\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt2}{2}\).

Ответ: