145. Решите уравнения: а) $2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3$; б) $2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt2$; в) $\sqrt3\, g\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=3$; г) $\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 145. Решите уравнения: а) $2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3$; б)…$ Фото задания

145. Решите уравнения: а) $2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3$; б) $2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt2$; в) $\sqrt3\, g\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=3$; г) $\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$.

Accepted Answer

а) Делим на 2 и используем значения косинуса: $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k$. Отсюда $x=4\pi k$ или $x=\frac{2\pi}{3}+4\pi k$.
б) После деления на 2 получаем синус, равный $-\frac{\sqrt2}{2}$: $3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi k$ или $3x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi k$. Поэтому $x=\frac{2\pi k}{3}$ или $x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3}$.
в) Делим на $\sqrt3$: $ g\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3$. Значит, $\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi k$, откуда $x=3\pi k$.
г) $\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-1$, поэтому $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$. Отсюда $x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi k$.

Здесь и далее $k\in\mathbb Z$.

Ответ: а) $x=4\pi k$ или $x=\frac{2\pi}{3}+4\pi k$; б) $x=\frac{2\pi k}{3}$ или $x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3}$; в) $x=3\pi k$; г) $x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

145. Решите уравнения: а) \(2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\); б) \(2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt2\); в) \(\sqrt3\, g\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=3\); г) \(\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0\).

Ответ: