14. Найдите точку максимума функции: y = (x + 4)e4-х.

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и решить уравнение. Затем проверить знак производной.

1. Найдем производную функции \( y = (x + 4)e^{4-x} \) с помощью правила произведения \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x + 4 \), тогда \( u' = 1 \).

Пусть \( v = e^{4-x} \), тогда \( v' = e^{4-x} \cdot (4-x)' = e^{4-x} \cdot (-1) = -e^{4-x} \).

\( y' = 1 \cdot e^{4-x} + (x + 4) \cdot (-e^{4-x}) \)

\( y' = e^{4-x} - (x + 4)e^{4-x} \)

\( y' = e^{4-x} (1 - (x + 4)) \)

\( y' = e^{4-x} (1 - x - 4) \)

\( y' = e^{4-x} (-x - 3) \)

2. Приравняем производную к нулю:

\( e^{4-x} (-x - 3) = 0 \)

Так как \( e^{4-x} \) всегда больше нуля, то:

\( -x - 3 = 0 \)

\( -x = 3 \)

\( x = -3 \)

3. Определим знак производной слева и справа от \( x = -3 \).

Возьмём \( x = -4 \) (левее -3): \( y' = e^{4-(-4)} (-(-4) - 3) = e^8 (4 - 3) = e^8 \). Производная положительна. Функция возрастает.

Возьмём \( x = -2 \) (правее -3): \( y' = e^{4-(-2)} (-(-2) - 3) = e^6 (2 - 3) = -e^6 \). Производная отрицательна. Функция убывает.

Следовательно, в точке \( x = -3 \) достигается максимум.

4. Найдем значение функции в этой точке:

\( y(-3) = (-3 + 4)e^{4-(-3)} = 1 \cdot e^7 = e^7 \).

Точка максимума — это \( (-3; e^7) \).

Ответ: \( x = -3 \).