12. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 50 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2,5 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость велосипедиста (км/ч).

Тогда скорость автомобилиста равна \( v + 50 \) (км/ч).

Время в пути велосипедиста: \( t_в = \frac{30}{v} \) (часов).

Время в пути автомобилиста: \( t_а = \frac{30}{v + 50} \) (часов).

По условию, велосипедист прибыл на 2,5 часа позже автомобилиста:

\( t_в = t_а + 2.5 \)

\( \frac{30}{v} = \frac{30}{v + 50} + 2.5 \)

Умножим обе части уравнения на \( v(v+50) \) для избавления от знаменателей:

\( 30(v + 50) = 30v + 2.5v(v + 50) \)

\( 30v + 1500 = 30v + 2.5v^2 + 125v \)

\( 1500 = 2.5v^2 + 125v \)

Разделим на 2.5:

\( 600 = v^2 + 50v \)

\( v^2 + 50v - 600 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\( D = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 2500 + 2400 = 4900 \)

\( \sqrt{D} = 70 \)

Найдем корни:

\( v_1 = \frac{-50 + 70}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)

\( v_2 = \frac{-50 - 70}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \)

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 10 \) км/ч.

Ответ: 10.