13. В прямоугольном параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ ребра BC, BA и диагональ B₁C₁ равны соответственно 6, 6 и 3√5. Найдите объём параллелепипеда ABCD A₁B₁C₁D₁.

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \) ребра \( BC \) и \( BA \) являются сторонами основания. Диагональ \( B_1C_1 \) — это диагональ боковой грани \( BB_1C_1C \) или \( AA_1D_1D \).

По условию:

• \( BC = 6 \)
• \( BA = 6 \)
• \( B_1C_1 = 3\sqrt{5} \)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BC C_1 \). По теореме Пифагора:

\[ BC^2 + CC_1^2 = BC_1^2 \]

Однако, \( B_1C_1 \) — это диагональ боковой грани, поэтому рассмотрим прямоугольный треугольник \( BB_1C_1 \). Стороны этого треугольника — \( BB_1 \) (высота параллелепипеда), \( B_1C_1 \) (ребро основания) и \( BC_1 \) (диагональ боковой грани). В условии указана диагональ \( B_1C_1 \), что является ребром. Это противоречие. Предположим, что \( B_1C_1 \) — это диагональ грани \( ABB_1A_1 \) или \( BCC_1B_1 \). Если \( B_1C_1 \) — ребро, то \( B_1C_1 = BC = AA_1 = DD_1 = 6 \). Это не совпадает с \( 3\sqrt{5} \).

Исходя из изображения, \( B_1C_1 \) является диагональю боковой грани \( BCC_1B_1 \). Тогда в прямоугольном треугольнике \( BCC_1 \):

\[ BC^2 + CC_1^2 = BC_1^2 \]

В условии дано \( B_1C_1 = 3\sqrt{5} \). Это диагональ грани \( BCC_1B_1 \). Следовательно, \( BC_1 = 3\sqrt{5} \).

\[ 6^2 + CC_1^2 = (3\sqrt{5})^2 \]

\( 36 + CC_1^2 = 9 \times 5 \)

\[ 36 + CC_1^2 = 45 \]

\( CC_1^2 = 45 - 36 \)

\[ CC_1^2 = 9 \]

\( CC_1 = 3 \) (высота параллелепипеда).

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

\[ V = S_{ABCD} \times CC_1 \]

Площадь основания \( ABCD \) (квадрат, так как \( BC = BA = 6 \)):

\[ S_{ABCD} = BA \times BC = 6 \times 6 = 36 \]

Объем параллелепипеда:

\[ V = 36 \times 3 = 108 \]

Ответ: 108.