13. Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.

Решение:

Дана равнобедренная трапеция \( ABCD \) ( \( AD \parallel BC \), \( AB=CD \)).

Диагональ \( AC \) образует с основанием \( AD \) угол \( \angle CAD = 30^{\circ} \).

Диагональ \( AC \) образует с боковой стороной \( CD \) угол \( \angle ACD = 80^{\circ} \).

В треугольнике \( ADC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Найдем \( \angle ADC \):

\[\angle ADC = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD\]\[\angle ADC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 80^{\circ} = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}\]

Так как трапеция равнобедренная, углы при одном основании равны. Угол \( \angle ADC \) — это угол при основании \( AD \).

Угол \( \angle ABC \) — это угол при основании \( BC \). Углы при разных основаниях в трапеции связаны:

\[\angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ}\]\[\angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ}\]

В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны. Углы при основании \( AD \) равны \( \angle DAB = \angle ADC = 70^{\circ} \).

Углы при основании \( BC \) также равны: \( \angle ABC = \angle BCD \).

Найдем \( \angle ABC \):

\[\angle ABC = 180^{\circ} - \angle DAB\]\[\angle ABC = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}\]

Ответ: 110°