13. Какой вектор называется противоположным данному вектору? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Вектор \(-\vec a\) называется противоположным вектору \(\vec a\), если его длина равна длине \(\vec a\), а направление противоположно направлению \(\vec a\). Для любого вектора справедливо: \(\vec a+(-\vec a)=\vec 0\).

Теорема о разности векторов: разность двух векторов равна сумме первого вектора со вторым, взятым с противоположным знаком:

\[\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b).\]

Доказательство. По определению разности \(\vec a-\vec b\) — это такой вектор \(\vec c\), что \(\vec c+\vec b=\vec a\). Возьмём \(\vec c=\vec a+(-\vec b)\). Тогда

\[(\vec a+(-\vec b))+\vec b=\vec a+\bigl((-\vec b)+\vec b\bigr)=\vec a+\vec 0=\vec a.\]

Следовательно, \(\vec c=\vec a-\vec b\).