12. Стержень поставлен вертикально у гладкой стены на гладком полу. Нижний конец его начал скользить по полу, а верхний — по стене; движение происходит в вертикальной плоскости. В тот момент, когда стержень составляет угол 30° с горизонтальной плоскостью, скорость движения его нижнего конца v. Какова скорость верхнего конца в этот момент? Варианты: 1) v; 2) v√3/2; 3) 2v/√3; 4) v√3.

Пусть длина стержня \(l\), координаты нижнего конца \(x\), верхнего конца \(y\). Тогда \(x^2+y^2=l^2\).

Дифференцируя по времени, получаем \(xv_x+yv_y=0\). При угле \(30^\circ\): \(x=l\cos30^\circ=\frac{\sqrt3l}{2}\), \(y=l\sin30^\circ=\frac l2\).

При \(v_x=v\): \(v_y=-\frac{x}{y}v=-\sqrt3v\). Следовательно, скорость верхнего конца по модулю равна \(\sqrt3v\).

Ответ: 4) v√3.