12. Какова градусная мера угла В, изображенного на рисунке.

Решение:

В треугольнике \( AEF \) нам известны два угла: \( \angle FAE = 32^{\circ} \) и \( \angle AEF = 45^{\circ} \) (как вертикальный к углу \( 45^{\circ} \) при пересечении прямых \( AF \) и \( BD \)).

Сумма углов треугольника равна 180°. Найдем \( \angle AFE \):

\( \angle AFE = 180^{\circ} - 32^{\circ} - 45^{\circ} = 180^{\circ} - 77^{\circ} = 103^{\circ} \).

Угол \( \angle BFO \) является смежным с углом \( \angle AFE \) (они образуют развёрнутый угол \( \angle AFB \), но на рисунке \( AF \) и \( BO \) пересекаются в точке \( E \), а \( F \) лежит на \( BO \)).

Рассмотрим треугольник \( EFO \). Нам известен угол \( \angle EOF = 54^{\circ} \). Угол \( \angle AEF = 45^{\circ} \). Угол \( \angle EFO \) мы можем найти, если рассмотрим смежные углы.

Угол \( \angle BFO \) является смежным к углу \( \angle EFA \) если точки \( B, E, F, O \) лежат на одной прямой, что не так. \( B, E, O \) лежат на одной прямой, \( D, E, F \) лежат на другой прямой.

Рассмотрим треугольник \( \triangle EFO \). Нам известен \( \angle EOF = 54^{\circ} \). Угол \( \angle FEO \) смежный с \( \angle AEF \), значит \( \angle FEO = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \). Сумма углов в \( \triangle EFO \) должна быть 180°, но \( 54^{\circ} + 135^{\circ} = 189^{\circ} \), что невозможно. Значит, \( F \) не лежит на \( BO \).

Перечитаем условие: \( A, E, D \) лежат на одной прямой. \( B, E, O \) лежат на одной прямой. \( F \) - это точка на \( BO \). Угол \( \angle AFE = 103^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle BFO \). Нам известен \( \angle BOF = 54^{\circ} \). Нам нужен \( \angle FBO \), который является углом \( B \) в треугольнике \( ABF \) или \( ABC \).

Угол \( \angle AFE = 103^{\circ} \). Угол \( \angle BFE \) смежный с \( \angle AFE \) по прямой \( AD \). Значит \( \angle BFE = 180^{\circ} - 103^{\circ} = 77^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle BFE \). Известны углы \( \angle FEB = 45^{\circ} \) (вертикальный к \( AEF \)) и \( \angle BFE = 77^{\circ} \).

\( \angle FBE = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 77^{\circ} = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} \).

Угол \( B \) в треугольнике \( ABF \) - это \( \angle FBE \). То есть \( B = 58^{\circ} \). Но на рисунке \( B \) - это угол \( \angle ABC \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABO \). Нам известен \( \angle AOB = 54^{\circ} \). Угол \( \angle OAB = 32^{\circ} \).

\( \angle ABO = 180^{\circ} - 54^{\circ} - 32^{\circ} = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ} \).

Угол \( B \) на рисунке - это \( \angle ABO \).

Ответ: 94°.