1199. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найдите его значение: а) $$\frac{1}{16} \cdot 2^{10}$$; б) $$32 \cdot (2^{-4})^2$$; в) $$8^{-1} \cdot 4^3$$; г) $$4^5 \cdot 16^{-2}$$.

Решение:

Приведём все числа к основанию 2:

• \( \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4} \)
• \( 32 = 2^5 \)
• \( 8 = 2^3 \)
• \( 4 = 2^2 \)
• \( 16 = 2^4 \)

1. \( \frac{1}{16} \cdot 2^{10} = 2^{-4} \cdot 2^{10} = 2^{-4+10} = 2^6 = 64 \)


2. \( 32 \cdot (2^{-4})^2 = 2^5 \cdot 2^{-4 \cdot 2} = 2^5 \cdot 2^{-8} = 2^{5+(-8)} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)


3. \( 8^{-1} \cdot 4^3 = (2^3)^{-1} \cdot (2^2)^3 = 2^{3 \cdot (-1)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-3} \cdot 2^6 = 2^{-3+6} = 2^3 = 8 \)


4. \( 4^5 \cdot 16^{-2} = (2^2)^5 \cdot (2^4)^{-2} = 2^{2 \cdot 5} \cdot 2^{4 \cdot (-2)} = 2^{10} \cdot 2^{-8} = 2^{10+(-8)} = 2^2 = 4 \)

Ответ: а) $$2^6$$ (значение 64); б) $$2^{-3}$$ (значение \(\frac{1}{8}\)); в) $$2^3$$ (значение 8); г) $$2^2$$ (значение 4).