1198. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найдите его значение: а) $$27 \cdot 3^{-4}$$; б) $$(3^{-1})^5 \cdot 81^2$$; в) $$9^{-2} : 3^{-6}$$; г) $$81^3 : (9^{-2})^{-3}$$.

Решение:

Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 3, нужно привести все числа к основанию 3:

• \( 27 = 3^3 \)
• \( 81 = 3^4 \)
• \( 9 = 3^2 \)

1. \( 27 \cdot 3^{-4} = 3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3+(-4)} = 3^{-1} = \frac{1}{3} \)


2. \( (3^{-1})^5 \cdot 81^2 = 3^{-1 \cdot 5} \cdot (3^4)^2 = 3^{-5} \cdot 3^{4 \cdot 2} = 3^{-5} \cdot 3^8 = 3^{-5+8} = 3^3 = 27 \)


3. \( 9^{-2} : 3^{-6} = (3^2)^{-2} : 3^{-6} = 3^{2 \cdot (-2)} : 3^{-6} = 3^{-4} : 3^{-6} = 3^{-4 - (-6)} = 3^{-4+6} = 3^2 = 9 \)


4. \( 81^3 : (9^{-2})^{-3} = (3^4)^3 : ( (3^2)^{-2} )^{-3} = 3^{4 \cdot 3} : ( 3^{2 \cdot (-2)} )^{-3} = 3^{12} : (3^{-4})^{-3} = 3^{12} : 3^{-4 \cdot (-3)} = 3^{12} : 3^{12} = 3^{12-12} = 3^0 = 1 \)

Ответ: а) $$3^{-1}$$ (значение \(\frac{1}{3}\)); б) $$3^3$$ (значение 27); в) $$3^2$$ (значение 9); г) $$3^0$$ (значение 1).