1194. Вычислите: а) $$5^{-15} · 5^{16}$$; б) $$\left(\frac{1}{3}\right)^{-4} · \left(\frac{1}{3}\right)^3$$; в) $$4^{-8} : 4^{-9}$$; г) $$\left(\frac{2}{5}\right)^2 : \left(\frac{1}{5}\right)^4$$; д) $$(2^{-2})^{-3}$$; е) $$(0,1^{-3})^{-1}$$.

Решение:

Используем свойства степеней:

• \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
• \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• \( (ab)^n = a^n b^n \)
• \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
• \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

1. \( 5^{-15} \cdot 5^{16} = 5^{-15+16} = 5^1 = 5 \)


2. \( \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} · \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4+3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3 \)


3. \( 4^{-8} : 4^{-9} = 4^{-8 - (-9)} = 4^{-8+9} = 4^1 = 4 \)


4. \( \left(\frac{2}{5}\right)^2 : \left(\frac{1}{5}\right)^4 = \frac{2^2}{5^2} : \frac{1^4}{5^4} = \frac{4}{25} : \frac{1}{625} = \frac{4}{25} · 625 = 4 · 25 = 100 \)


5. \( (2^{-2})^{-3} = 2^{(-2) \cdot (-3)} = 2^6 = 64 \)


6. \( (0.1^{-3})^{-1} = 0.1^{(-3) \cdot (-1)} = 0.1^3 = 0.001 \)

Ответ: а) 5; б) 3; в) 4; г) 100; д) 64; е) 0.001.