1196. Докажите, что $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$ при любом целом n, a ≠ 0 и b ≠ 0.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1196. Докажите, что $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$ при любом целом n, a ≠ 0 и b ≠ 0.$ Фото задания

1196. Докажите, что $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$ при любом целом n, a ≠ 0 и b ≠ 0.

Accepted Answer

Решение:

Рассмотрим левую часть равенства:

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}$

Используя свойство степени дроби $\left(\frac{x}{y}\right)^k = \frac{x^k}{y^k}$, получаем:

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{a^{-n}}{b^{-n}}$

Теперь применим свойство отрицательной степени $x^{-k} = \frac{1}{x^k}$ к числителю и знаменателю:

$\frac{a^{-n}}{b^{-n}} = \frac{\frac{1}{a^n}}{\frac{1}{b^n}}$

Разделим дробь на дробь:

$\frac{\frac{1}{a^n}}{\frac{1}{b^n}} = \frac{1}{a^n} \cdot \frac{b^n}{1} = \frac{b^n}{a^n}$

Используя свойство степени дроби $\frac{x^k}{y^k} = \left(\frac{x}{y}\right)^k$, получаем:

$\frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}$

Мы получили правую часть равенства. Следовательно, равенство доказано.

Доказано.

1196. Докажите, что \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\) при любом целом n, a ≠ 0 и b ≠ 0.

Ответ:

Решение: