1195. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с противоположными показателями взаимно обратны.

Решение:

Пусть дано число \(a \neq 0\). Степени с противоположными показателями имеют вид \(a^n\) и \(a^{-n}\).

Рассмотрим произведение этих степеней:

\(a^n \cdot a^{-n}\)

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

\(a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^{n - n} = a^0\)

По определению степени с нулевым показателем, любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1:

\(a^0 = 1\)

Таким образом, произведение степеней с противоположными показателями равно 1. Это означает, что эти степени взаимно обратны.

Доказано.