1173 При данном движении каждая из вершин треугольника АВС отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: По условию, вершины треугольника ABC (A, B, C) отображаются на себя при данном движении. Это означает, что A'=A, B'=B, C'=C.
2. Шаг 2: Рассмотрим произвольную точку P на плоскости. Пусть P' — её образ при данном движении.
3. Шаг 3: Движение сохраняет расстояния. Следовательно, PA = PA', PB = PB', PC = PC'.
4. Шаг 4: Так как A'=A, B'=B, C'=C, то PA = PA', PB = PB', PC = PC' становятся: PA = PA', PB = PB', PC = PC'.
5. Шаг 5: У нас есть три точки A, B, C, которые не лежат на одной прямой (так как они являются вершинами треугольника).
6. Шаг 6: Если точка P' совпадает с P, то PA = PA, PB = PB, PC = PC, что выполняется для любой точки.
7. Шаг 7: Предположим, что P' не совпадает с P. Тогда PA = PA' означает, что P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PP'.
8. Шаг 8: PB = PB' означает, что P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PP'.
9. Шаг 9: PC = PC' означает, что P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PP'.
10. Шаг 10: Для того чтобы точка P' не совпадала с P, должны существовать иные условия. Однако, если A, B, C остаются на месте, то расстояние от любой точки P до A, B, C сохраняется.
11. Шаг 11: Единственное движение, которое сохраняет расстояния от трех неколлинеарных точек до их образов, и при этом образы совпадают с исходными точками, — это тождественное преобразование.
12. Шаг 12: Тождественное преобразование — это преобразование, при котором каждая точка отображается на себя.

Вывод: Любая точка плоскости отображается на себя.