Контрольные задания > 1172 При данном движении каждая из двух точек А и В отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отображается на себя.
Вопрос:

1172 При данном движении каждая из двух точек А и В отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отображается на себя.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Если движение оставляет неподвижными две точки, то оно не может перемещать другие точки прямой, проходящей через эти две точки.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: По условию, точки A и B отображаются на себя при данном движении. Это означает, что A' = A и B' = B, где A' и B' — образы точек A и B при данном движении.
  2. Шаг 2: Рассмотрим произвольную точку X, лежащую на прямой AB.
  3. Шаг 3: Движение сохраняет расстояния. Пусть X' — образ точки X при данном движении. Тогда расстояние AX = A'X' и BX = B'X'.
  4. Шаг 4: Так как A' = A и B' = B, то AX = AX' и BX = BX'.
  5. Шаг 5: Точка X лежит на прямой AB. Если бы точка X' не лежала на прямой AB, то расстояние AX' было бы меньше, чем AX + XX' (неравенство треугольника для точек A, X, X'). Однако, поскольку движение сохраняет расстояния, AX = AX'.
  6. Шаг 6: Предположим, что X' не совпадает с X. Тогда точки A, X, X' образуют треугольник. Расстояние AX = AX'. Это означает, что точка X лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XX'.
  7. Шаг 7: Аналогично, BX = BX' означает, что точка X лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XX'.
  8. Шаг 8: Если точки A и B лежат по разные стороны от прямой XX', то единственная точка, лежащая на серединных перпендикулярах к XX' и одновременно на прямой AB, — это точка пересечения прямых AB и XX'.
  9. Шаг 9: Однако, если A и B отображаются на себя, это означает, что движение является тождественным на прямой AB. Если бы X' не совпадало с X, то движение не было бы тождественным.
  10. Шаг 10: В случае, если движение является тождественным, все точки остаются на своих местах.
  11. Альтернативное рассуждение: Движение, оставляющее неподвижными две точки, является либо тождественным преобразованием (если эти две точки — единственные неподвижные точки), либо осью симметрии (если это осевая симметрия). В случае поворота, если две точки отображаются на себя, это может произойти только если центр поворота совпадает с одной из точек, и угол поворота равен 0 или 360 градусов, что означает тождественное преобразование. Или если обе точки совпадают с центром поворота. В любом случае, все точки на прямой AB будут отображаться на себя.

Вывод: Любая точка прямой AB отображается на себя.

ГДЗ по фото 📸

Похожие