112. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см, а один из катетов - 9 см. Найдите площадь сечения, проведённого через середину высоты пирамиды

Решение:

1. Найдем второй катет прямоугольного треугольника основания по теореме Пифагора:

\( b^2 = c^2 - a^2 \)

\( b^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144 \)

\( b = \sqrt{144} = 12 \) см.

2. Площадь основания пирамиды \( S_{осн} \):

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 \) см².

3. Сечение, проведённое через середину высоты пирамиды, параллельно основанию, является подобным треугольником. Коэффициент подобия \( k \) равен отношению высоты сечения к полной высоте пирамиды. Так как сечение проходит через середину высоты, то \( k = \frac{1}{2} \).

4. Площадь сечения \( S_{сеч} \) относится к площади основания \( S_{осн} \) как квадрат коэффициента подобия:

\( S_{сеч} = k^2 \cdot S_{осн} \)

\( S_{сеч} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 54 = \frac{1}{4} \cdot 54 = 13.5 \) см².

Ответ: Площадь сечения равна \( 13.5 \) см².